Unidad II: 2.7 Distribución Muestral de la diferencia de medias

 2.7 Distribución Muestral de la diferencia de medias 

El estudio de determinadas características de una población se efectúa a través de diversas muestras que pueden extraerse de ella.

El muestreo puede hacerse con o sin reposición, y la población de partida puede ser infinita o finita. Una población finita en la que se efectúa muestreo con reposición puede considerarse infinita teóricamente. También, a efectos prácticos, una población muy grande puede considerarse como infinita. En todo nuestro estudio vamos a limitarnos a una población de partida infinita o a muestreo con reposición. 

Consideremos todas las posibles muestras de tamaño n en una población. Para cada muestra podemos calcular un estadístico (media, desviación típica, proporción,...) que variará de una a otra. Así obtenemos una distribución del estadístico que se llama distribución muestral.

Fórmula 

Ejemplos

1. En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142,mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si 1x representa el promedio de los pesos de 20 niños y 2x es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Datos

μ1 =100 libras niños 
μ2 = 85 libras niñas 
σ1= 14.142 niños 
σ2= 12.247 niñas 
n1= 20 niños 
n2= 25 niñas 
P(x1 − x2)>20=? 

Procedimiento 

Z =(20) −( 100 −85 )/√((14.142)² /20) +((12.247)² /25)= 1.250 
1 - 0.89435 = .10565 
10.56 % de probabilidad de que los niños peses 20 libras + que las niñas

2. Uno de los principales fabricantes de televisores compra las cabezas laser de a dos compañías. Los laser de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 cabezas laser de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de  40 tubos de la compañía B.

Datos

 
μ1 =7.2 años 
μ2 = 6.7 años 
σ1= 0.8 años 
σ2= 0.7 años 
n1= 34 tubos 
n2= 40 tubos 
P(x1 − x2)>1=? 

Procedimiento 
Z =(1) −( 7.2 −6.7 )/√(.82/34)+(.72/40)= 2.836 

Z= 0.99767 
1 - 0.99767 = 2.33x10 -3 
.00233 x100% = .233%

3. Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos. 

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de x1 – x2= 0.45km/L que la segunda gasolina? 

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina?

A)

Datos

 
μ1 =0 
μ2 = 0 
σ1= 1.23 km/lto 
σ2= 1.37 km/lt 
n1= 35 autos 
n2= 42 autos 
P(x1 − x2)>0.45=? 

Procedimiento 

Z =(0.45) −( 0)/√((1.23)2/35) +((1.37)2/42= 1.5176 

Z =0.93448 
1 - .93448 = 0.06552 
6.55% de la 1ra gasolina rinda más que la segunda 

B)
Datos

 
μ1 =0 
μ2 = 0 
σ1= 1.23 km/lto 
σ2= 1.37 km/lt 
n1= 35 autos 
n2= 42 autos 
P(x1 − x2)> 0.65 y 0.83km 

Procedimiento 

Z =(.65) −( 0)/√(1.232/35) +(1.372/42)=2.192 

Z =(.83) −( 0)/√(1.232/35) +(1.372/42)= 2.79 

Z = 2.192 → 0.98574 
Z = 2.79 →0.99736 
.99736 - .98574 = 0.01162 
1.16 % de la gasolina 1

Ejercicios de tarea 

1. Un rodamiento para una troqueladora producida por la empresa A, tiene una vida media útil de 3.5 años con una desviación estándar de 0.4 años. El mismo tipo de rodamientos producido por la empresa B, tiene una vida media útil de 3.3  años con una desviación estándar de 0.3 años. 

¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 25 rodamientos de la empresa A tenga una vida media de por lo menos 0.4 años más, que la vida media de una muestra de 36 rodamientos de la  

empresa B?

Datos 

μ1 =3.5 
μ2 = 3.3 
σ1= .4 
σ2= .3 
n1= 25 
n2= 36 
P(x1 − x2)>0.4=? 

Procedimiento 
Z =(0.4) − ( 3.5 – 3.3)/√(0.42/25)+(0.32/36)=2.120→0.98300=1-0.98300=0.017=1.7%

2.  Las compañías A y B fabrican dos tipos de cables que tienen una resistencia media a la rotura de 4.000 y 4.500 libras y desviaciones estándar de 300 y 200 libras respectivamente. Si se comprueban  

100 cables de A y 50 cables de B; ¿Cuál es la probabilidad de que la media a la rotura de B sea mayor que la de A en 400 libras o más? 

Datos

μ1 =4.000

μ2 = 4.500

σ1= 300

σ2= 200

n1= 100

n2= 50

P(x1 − x2)>400=?

Procedimiento

Z =(400) − ( 4500 – 4000)/√(200²/50)+(300²/100)=-2.425→0.00776=1-0.00776=0.99224=99.224%