UNIDAD II: Distribución Muestral (Teorema Límite Central)

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL 

La estadística (la forma femenina del término alemán Statistik, derivado a su vez del italiano statista, "hombre de Estado"), es la rama de las matemáticas que estudia la variabilidad, así como el proceso aleatorio que la genera siguiendo las leyes de la probabilidad.​ Como parte de la matemática, la estadística es una ciencia formal deductiva, con un conocimiento propio, dinámico y en continuo desarrollo obtenido a través del método científico formal. 

Fórmula 

Ejemplos 

1) Una máquina llena bolsas de cubrebocas con un contenido medio de 150gr y una varianza de 120 grs2. Si se toma una muestra de 40 bolsas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 𝑥ҧ1= 145 y 𝑥ҧ2=152 grs?

Datos

μ = 150 grs

σ2= 120 grs2

σ=2√30 =10.9544

n = 40

Procedimiento

P (145 ≤ x ≤ 152)

P = (145 −150/(10.9544/√40)) = -2.89→0.00193

P = (152 − 150(10.9544/√40)) = 1.15→0.87493

= 0.87493 – 0.00193 =0.873

0.873 x 100% = 87.3%

2) El peso de un producto en Kg sigue una distribución normal con media 30 y desviación típica 3. Un empresario decide aceptar un lote de 600 unidades que le envía el proveedor, si al elegir 5 unidades de dicho producto al azar encuentra que su peso medio no es menor que 29. Calcular la probabilidad de que se rechace el lote?

Datos

μ = 30 kg

σ= 3 kg

n = 5

x=29

Procedimiento

P (x ≤ 29)

Z= (29 −30/ (3/√5)) = -0.7453→0.22965

0.22965=22.97%

3) Un banco llevó una estadística de los reclamos de los clientes en todas sus sucursales y vio que está distribuido normalmente, con una media de 305 reclamos por año y una desviación estándar de 27 reclamos. Obtenga la probabilidad de que una muestra aleatoria de 33 sucursales se tengan 290

reclamos por año.

Datos

μ = 305 re.

σ= 27 re.

n = 33

x=290

Procedimiento

P (x ≤ 290) 

Z = (290 −305/ (27/√33)) = -3.191→0.00071*100=.071% de que la 33 sucursales tengan 290 reclamos por año.

4) Una empresa de mensajería que opera en la ciudad tarda una media de 35 minutos en llevar un paquete, con una desviación típica de 8 minutos. Supongamos que durante el día de hoy han repartido 20 paquetes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de los tiempos de entrega de hoy

esté mayor a 40 minutos?.

Datos

μ = 35 min.

σ= 8 min

n= 20

x=40

Procedimiento

P (x > 40)

Z = (40−35/ (8/√20)) = 2.7950→0.99736

=1-.99736=0.00264→.26% es la probabilidad de encontrar una entrega mayor a 40 Min

5) Ciertos tubos fabricados por una compañía, tienen una duración media de 900 horas y una desviación estándar de 70 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 36 tubos, ¿Cuál es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 870 y 925 horas?

Datos

μ = 900hrs

σ=70 hrs

n = 36 

x= 870, 925 hrs

Procedimiento:

P (870 ≤ x≤ 925)

Z1 = (870−900/ (70/√36)) = -2.5714→0.00508 

Z2= (925−900/ (70/√36)) = 2.142→0.98382 

0.98382-0.00508= 0.9787→97.87%

Ejercicios de Tarea 

6) La edad de los miembros de una determinada asociación sigue una distribución normal N. Sabemos que la distribución de las medias de las edades en muestra de tamaño 36 tienen como media 52 años y como desviación típica 15 años

¿Cuál es la probabilidad de que un miembro de la asociación, elegido al azar sea mayor de 60 años?

Datos

μ = 52 años

σ=15 años

n = 36 

x= 60 años

Procedimiento

P (x > 60)

Z1 = (60−52/ (15/√36)) = 3.2→0.99931

1-0.99931= 0.00069→.069%

7) En la clase de estadística la media de un examen bimestral es de 80 puntos con una desviación estándar de 12 puntos. Si la distribución de notas es normal y en la clase hay 35 alumnos.

¿Cuál es la probabilidad de que haya obtenido una nota entre 75 y 85 puntos?

Datos

μ = 80 puntos

σ=12 puntos

n = 35 puntos

x1= 75 puntos

X2= 85 puntos

Procedimiento

P (75≤x≤85)

Z1 = (75−80/ (12/√35)) =-2.465→0.00695

Z2= (85−80/ (12/√35)) = 2.465→0.99305

0.99305-0.00695= 0.9861→98.61%

8) Suponga que la media del precio de venta de un galón de gasolina en México es de $1.30, Además, asuma que la distribución está posiblemente inclinada, con una desviación estándar de 0.28. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una muestra de 35 estaciones de gasolina y encontrar una media muestral

dentro de $1.22. y $1.38 ?

Datos

μ = 1.30

σ=0.28

n = 35 

x1= 1.22

X2=1.38

Procedimiento

P (1.22≤x≤1.38)

Z1 = (1.22−1.30/ (0.28/√35)) =-1.690→0.04551

Z2= (1.38−1.30/ (0.28/√35)) = 1.690→0.95449

0.95449-0.04551= 0.90898→90.89%

9) Una máquina llena bolsas de chocolates con un contenido medio de 160gr y una varianza de 110 grs2. Si se toma una muestra de 35 bolsas, ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 140 y 172 grs?

Datos

μ = 160gr

σ2=110 grs2 

σ=√110=10.4880 grs

n = 35 

x1= 140 grs 

X2=172 grs

Procedimiento

P (140≤x≤172)

Z1 = (140−160/ (10.4880/√35)) =-11.281→0.00000

Z2= (172−160/ (10.4880/√35)) = 6.7689→1.00000

1.00000-0.00000= 1.00000→100%

10) Ciertos artículos fabricados por una compañía, tienen una duración media de 800 horas y una desviación estándar de 65 horas. Si se seleccionan aleatoriamente una muestra de 40 tubos, ¿Cuál es la probabilidad de que dichos tubos tengan una duración media entre 670 y 925 horas?

Datos
μ = 800hrs
σ=65 hrs
n = 40
x1= 670hrs

X2=925hrs

Procedimiento

P (670≤x≤925)

Z1 = (670−800/ (65/√40)) =-12.649→0.00000

Z2= (925−800/ (65/√40)) = 12.162→1.00000

1.00000-0.00000= 1.00000→100%

11) Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas?

Datos
μ = 800hrs
σ=40 hrs
n = 16

x= 775hrs

Procedimiento

P (x≤775)

Z1 = (775−800/ (40/√16)) =-2.5→0.00621

0.621→0.621%