3.5 Intervalos de confianza para proporciones
En la inferencia sobre una proporción el problema se concreta en estimar y contrastar la proporción p de individuos de una población que presentan una determinada característica A (proporción de votantes a un partido político, proporción de parados. El problema se modeliza mediante una variable dicotómica que toma el valor 1 si se presenta la característica de interés y 0 en caso contrario, esto es, una variable de Bernoulli, ,de la que se dispone de una muestra de tamaño n. Entonces, la proporción poblacional p no es otra cosa que la media poblacional de dicha variable, estimándose con la correspondiente proporción muestral o media muestral, .
Fórmula
Ejemplos
1. Un fabricante de reproductores de discos compactos utiliza un conjunto de pruebas amplias para evaluar la función eléctrica de su producto. Todos los reproductores de discos compactos deben pasar todas las pruebas antes de venderse. Una muestra aleatoria de 500 reproductores tiene como resultado 15 que fallan en una o más pruebas. Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la proporción de los reproductores de discos compactos de la población que no pasan todas las pruebas.
2. En una muestra de 400 pilas tipo B fabricadas por la Everlast Company, se encontraron 20 defectuosas. Si la proporción p de pilas defectuosas en esa muestra se usa para estimar P, que vendrá a ser la proporción verdadera de todas las pilas defectuosas tipo B fabricadas por la Everlast Company, encuentre el máximo error de estimación e tal que se pueda tener un 95% de confianza en que P dista menos de p.
3. En un estudio de 300 accidentes de automóvil en una ciudad específica, 60 tuvieron consecuencias fatales. Con base en esta muestra, construya un intervalo del 90% de confianza para aproximar la proporción de todos los accidentes automovilísticos que en esa ciudad tienen consecuencias fatales.
Ejercicios
1. De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 254, de los cuales 1900 nacieron en la ciudad sede. Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95%.
1A) De un total de 2800 estudiantes aspirantes a ingresar a una universidad, se quiere estimar la proporción de aspirantes que nacieron en la ciudad sede de la universidad, para lo cual se toma una muestra de 254, de los cuales 1900 nacieron en la ciudad sede. Calcule el intervalo con un nivel de confianza del 95%.
2. De una muestra aleatoria de 200 comparendos por infracciones de tránsito, 84 de ellos se debieron al uso del celular por parte del conductor sin el uso de manos libres mientras el vehículo estaba en marcha. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción real por el uso indebido del celular.
3.6 Intervalo de confianza para diferenciar de medias con varianza conocida y desconocida
Cuando las varianzas son desconocidas, se debe realizar previamente una prueba estadística para verificar si éstas son iguales o diferentes. Para hacerlo debemos hacer uso de la distribución F, bien sea mediante el cálculo de la probabilidad de que la muestra tomada provenga de dos poblaciones con varianzas iguales, o mediante el uso de un intervalo de confianza para la relación de dos varianzas, según se estudiará más adelante. Como se desconocen las varianzas de la población, se usa n las varianzas de las muestras como estimadores.
Fórmula
Ejemplos
1. Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente
2. Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan, dando como resultado promedio para la marca A 36,300 kilómetros y para la marca B 38,100 kilómetros. Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia promedio de las dos marcas, si se sabe que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con desviación estándar de 5000 kilómetros para la marca A y 6100 kilómetros para la marca B.
3. Se llevan a cabo pruebas de resistencia a la tensión sobre dos diferentes clases de largueros de aluminio utilizados en la fabricación de alas de aeroplanos comerciales. De la experiencia pasada con el proceso de fabricación se supone que las desviaciones estándar de las resistencias a la tensión son conocidas. La desviación estándar del larguero 1 es de 1.0 Kg/mm2 y la del larguero 2 es de 1.5 Kg/mm2. Se sabe que el comportamiento de las resistencias a la tensión de las dos clases de largueros son aproximadamente normal. Se toma una muestra de 10 largueros del tipo 1 obteniéndose una media de 87.6 Kg/mm2, y otra de tamaño 12 para el larguero 2 obteniéndose una media de 74.5 Kg/mm2. Estime un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la resistencia a la tensión promedio.
4. Dos compañías A y B fabrican el mismo tipo de cable y un distribuidor desea conocer la diferencia promedio de la resistencia a la rotura de los mismos, para lo cual toma muestras de 100 cables de A y 50 cables de B. La muestra de los cables de la compañía A arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4.500 libras y los cables de la compañía B arrojan una resistencia promedio a la rotura de 4.000 libras. Si se sabe por experiencia que la desviación estándar de la resistencia a la rotura es de 300 libras para la compañía A y de 200 libras para la compañía B, se pide estimar el intervalo de confianza de la diferencia de medias de la resistencia a la rotura entre los dos cables, con un nivel de confianza del 95%. Se sabe que la resistencia a la rotura se distribuye normalmente para ambas compañías.
5. En una compañía se quiere estimar la diferencia de los promedios de los rendimientos para producir cierta pieza por parte de los obreros en dos turnos diferentes. Para tal fin el Jefe de producción de la empresa toma muestras de 32 obreros para el turno 1 y encuentra que la media en la misma es de 20 minutos mientras que la desviación estándar es de 2.8 minutos. Por otra parte tomó una muestra de 35 obreros del turno 2 y encuentra que la media de la misma es de 22 minutos mientras que la desviación estándar es de 1.9 minutos. Se pide calcular el intervalo de confianza de la diferencia de las medias de los rendimientos en los dos turnos con un nivel de confianza del 90%.
6. Se pide resolver el problema anterior asumiendo que los rendimientos de los obreros en ambos turnos se comportan normalmente y que el tamaño de muestra para el turno 1 fue de 25 obreros y el tamaño de muestra para el turno 2 fue de 17 obreros. Se pide un nivel de confianza del 95% para la estimación del intervalo y una desviación estándar de 2.479 para ambas muestras.
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