Dentro de la inferencia estadística, un contraste de hipótesis (también denominado test de hipótesis o prueba de significación) es un procedimiento para juzgar si una propiedad que se supone en una población estadística es compatible con lo observado en una muestra de dicha población.
Está fuertemente asociada al concepto estadístico de potencia y a los conceptos de errores de tipo I y II, que definen respectivamente, la posibilidad de tomar un suceso falso como verdadero, o uno verdadero como falso.
La proposición Ho; µ = 50 cm/s, se conoce como hipótesis nula , mientras que la proposición H1; µ ≠ 50 cm/s, recibe el nombre de hipótesis alternativa.
• Puesto que la hipótesis alternativa especifica valores de µ que pueden ser mayores o menores que 50 cm/s, también se conoce como hipótesis alternativa bilateral. En algunas situaciones, lo que se desea es formular una hipótesis alternativa unilateral, como en
Ho; µ = 50 cm/s Ho; µ = 50 cm/s
ó
H1; µ < 50 cm/s H1; µ > 50 cm/s
• Es importante recordar que las hipótesis siempre son proposiciones sobre la población o distribución bajo estudio, no proposiciones sobre la muestra. Por lo general, el valor del parámetro de la población especificado en la hipótesis nula se determina en una de tres maneras diferentes:
• 1. Puede ser resultado de la experiencia pasada o del conocimiento del proceso, entonces el objetivo de la prueba de hipótesis usualmente es determinar si ha cambiado el valor del parámetro.
• 2. Puede obtenerse a partir de alguna teoría o modelo que se relaciona con el proceso bajo estudio. En este caso, el objetivo de la prueba de hipótesis es verificar la teoría o modelo.
• 3. Cuando el valor del parámetro proviene de consideraciones externas, tales como las especificaciones de diseño o ingeniería, o de obligaciones contractuales. En esta situación, el objetivo usual de la prueba de hipótesis es probar el cumplimiento de las especificaciones.
Ejemplos
1. Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado muestra una vida promedio de 71.8 años. Suponga una desviación estándar poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media hoy en día es mayor que 70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.= 5% Solución:
2. Datos:
m=70 años
s = 8.9 años
x = 71.8 años
n = 100
a = 0.05
3. Ensayo de hipótesis
Ho; m = 70 años.
H1; m > 70 años.
4. Regla de decisión:
A)Si zR 1.645 no se rechaza Ho.
B)Si zR> 1.645 se rechaza Ho y acepto H1.
5. Cálculos:
Z =71.8 −70/8.9/√100= 2.02
6. Justificación y decisión.
Como 2.02 >1.645 se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la vida media hoy en día es mayor que 70 años.
2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas, ¿muestran los datos suficiente evidencia para decir que la duración media ha cambiado? Utilice un nivel de significancia del 0.04.
1. Datos:
m=800 horas
s = 40 horas
x = 788 horas
n = 30
a = 0.04
3. Ensayo de hipótesis
Ho; m = 800 horas se acepta la H nula
H1; m 800 horas
4. Regla de Decisión:
A)Si –2.052 ZR 2.052 No se rechaza Ho
B) Si ZR < -2.052 ó si ZR > 2.052 Se rechaza Ho
5. Fórmula
Z =788 −800/40√30= - 1.643
6. Justificación y decisión:
Como –2.052 -1.643 2.052 por lo tanto, no se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.04 que la duración media de los focos no ha cambiado.
3. Una muestra aleatoria de 64 bolsas de palomitas de maíz pesan, en promedio 5.23 onzas con una desviación estándar de 0.24 onzas. Pruebe la hipótesis de que m = 5.5 onzas contra al hipótesis alternativa, m < 5.5 onzas en el nivel de significancia de 0.05. Solución: Se trata de una distribución muestral de medias con desviación estándar desconocida
1. Datos:
m= 5.5 onzas
s= 0.24 onzas
x = 5.23 onzas
n = 64
a = 0.05
3. Ensayo de hipótesis
Ho; m = 5.5 onzas x
H1; m < 5.5 onzas acepto
4. Regla de decisión:
A)Si ZR -1.645 No se rechaza Ho
b) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho
5. Fórmula
Z =5.23 −5.5/0.24√64= - 9
6. Justificación y decisión:
Como –9 < -1.645 por lo tanto se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que las bolsas de palomitas pesan en promedio menos de 5.5 onzas.
4.4 Prueba de hipótesis para una proporción y diferencia de proporciones.
Ejercicios
1. Un constructor afirma que se instalan bombas de calor en 70% de todas las casas que se construyen hoy en día en la ciudad de Richmond. ¿Estaría de acuerdo con esta afirmación si una investigación de casas nuevas en esta ciudad muestra que 8 de 15 tienen instaladas bombas de calor? Utilice un nivel de significancia de 0.10.
Datos:
P= 0.70
p = 8/15 = 0.5333
n = 15
a = 0.10
3. Ensayo de hipótesis
Ho; P = 0.70
H1; P 0.70
4. Regla de Decisión:
A) Si –1.645 ZR (-1.41) 1.645 No se rechaza Ho
B) Si ZR < -1.645 ó si ZR > 1.645 Se rechaza Ho
5. Fórmula
Z=0.533 −0−70/√(0.70)(0.30)/15= −1.41
6. Justificación y decisión:
Como –1.645 -1.41 1.645 No se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia de 0.10 que la afirmación del constructor es cierta.
2. Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción de controladores defectuosos en uno de los pasos de manufactura críticos no sea mayor que 0.05= 5%, y que el fabricante demuestre esta característica del proceso de fabricación con este nivel de calidad, utilizando a = 0.05. El fabricante de semiconductores toma una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son defectuosos. ¿El fabricante puede demostrar al cliente la calidad del proceso?
1. Datos:
P= 0.05
p = 4/200 = 0.02
n = 200
a = 0.05
3. Ensayo de hipótesis
Ho; P = 0.05 rechaza
H1; P < 0.05 aceptar
4. Regla de decisión:
a) Si ZR -1.645 No se rechaza Ho
b) Si ZR < -1.645 Se rechaza Ho
5. Fórmula
Z=0.02 −0.05/√(0.05)(0.95)/200= −1.946
6. Justificación y decisión:
Puesto que –1.946<-1.645, se rechaza Ho y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que la fracción de artículos defectuosos es menor que 0.05.
3. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Para ello se somete a prueba una muestra de 300 circuitos, en la que 13 son defectuosos. Utilice los datos para probar Ho: P=0.05 contra H1: P 0.05. Utilice un valor de P para su conclusión.
Ensayo de hipótesis
Ho; P = 0.05 =5%
H1; P ≠ 0.05 <>5%
Regla de decisión
a) Si z<= 0.596 se acepta Ho (nula)
b) Si z>= 0.596 Se rechaza Ho
Z=0.043 −0.05/√(0.05)(0.95)/300= −0.53
Decisión:
Este valor de P de 0.596 es muy grande por lo que se concluye que la fracción defectuosa de circuitos integrados es de 0.05, o sea no se rechaza Ho.
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