UNIDAD II: 2.4 Distribución Muestral (Proporciones) y 2.5 Distribución Muestral de la Diferencia de Medias y de Diferencias de Proporciones

 2.4 Distribución Muestral de las proporciones 

Cuando se requiere investigar la proporción de algún atributo en una muestra (variables cualitativas), la distribución muestral de proporciones es la adecuada para dar respuesta a dichas situaciones. Esta distribución se genera de igual manera que la distribución muestral de medias, a excepción de que al extraer las muestras de la población, se calcula el estadístico proporción (p=x/n en donde "x" es el número de éxitos u observaciones de interés y "n" el tamaño de la muestra), en lugar del estadístico promedio. 

Fórmula 

Ejemplos 

1. Se ha demostrado por reclamos que se han hecho, que el 20% de las entregas llegan averiadas al utilizar una compañía intermunicipal de transporte. ¿Cual es la probabilidad de que al enviar 100 entregas, la proporción de averiadas sea menor que el 25%?

Datos 

p = 0.25 
P = 0.20 
q = 1 – P 
(1-.20 = .80) 
n = 100

Procedimiento

z= (.25 −.20 )/√((.20 ∗ .80)/100 )=5/4=1.25
1.25=0.89435 0.89435x100% =89.43%

2. En una gran compañía, el P=18% de los trabajadores están de acuerdo con un proyecto de ley que modifica el código laboral Mexicano. La gerencia de la compañía desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n=120 trabajadores, el p=30% o más estén de acuerdo con dicho proyecto 

Datos 
p = 0.30 
P = 0.18 
q = 1 – P 
(1-.18 =.82) 
n = 120 

Procedimiento 

z= (.30− .18) /√ (.18∗.82)/120= 3.42159 
Z= 3.42159 = 0.99968 
0.99968 – 1= .00032→0.032%

3. Por experiencia se sabe que el P=68% de los clientes de un supermercado, utilizan vales de consumo. Si se toma aleatoriamente una muestra de n=500 clientes, ¿cual es la probabilidad de que menos del p=65% utilicen dichos vales?

Datos 
p = 0.65 
P = 0.68 
q = 1 – P 
(1-.68 =0.32) 
n = 500 

Procedimiento 
z =.65−.68/√0.68∗0.32/500= -1.438 
Z= 0.07636 x100% =7.63%

4. Un medicamento para malestar estomacal tiene la advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una reacción adversa a él, más aún, se piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad de que la proporción de la muestra de los usuarios que realmente presentan una reacción adversa, exceda el 4%.

Datos 
p =4%=.04 
P = 3%=.03 
q = 1 – P 
(1-.03 =.97) 
n = 150 

Procedimiento 
z = .04 − .03/√ .03∗.97 /150 = 0.71795 
Z=0.71795→0.76115 
1-0.76115 = 0.23885 la probabilidad de que se exceda el 4% es de 23.88%

5. Por experiencia se sabe que el 78% de los estudiantes de la UMB, utilizan su celular para buscar información. Si se toma aleatoriamente una muestra de 480 alumnos, ¿cual es la probabilidad de que menos del 70% utilicen dichos vales?

Datos 
p =0.70 
P =0.78 
q = 1 – P 
(1-.78 =.22) 
n = 480 

Procedimiento 
z = .70 − .78/√ .78∗.22 /480 = -4.2310→0.00001=0.001%

2.5 Distribución muestral de la diferencia de medias y de diferencia de proporciones.

Si se consideran las proporciones como medias y se aplica la prueba t utilizada para comparar medias poblacionales los resultados no son fiables ya que la estimación del error típico que realiza el programa no coincide con la del estadístico de prueba. Para resolver el problema con el programa SPSS se deberá cruzar la variable analizada con la que define los grupos (obtener la tabla de contingencia) y realizar el contraste de independencia Chi-cuadrado.

Fórmula 

Ejemplos 

1. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.

Datos

 
P1= 0.12 hombres 
P2= 0.10 mujeres 
n1= 100 hombre 
n2= 100 mujeres 
p= (0.03H – (.5/100) =0.025 

Procedimiento

 
Z= (0.025) −(.12 −.10)/√(.12∗.88/100) +(.10 ∗.90/100)=0.113 
Z= 0.113→0.54380 
1 - .54380 =0.4562 →45.62%

2. Una encuesta del Boston College constó de 320 trabajadores de Michigan que fueron despedidos entre 2009 y 2014, encontró que 20% habían estado sin trabajo durante por lo menos dos años. Supóngase que tuviera que seleccionar otra muestra aleatoria de 320 trabajadores de entre todos los empleados despedidos entre 2009 y 2014. ¿Cuál sería la probabilidad de que su porcentaje muestral de trabajadores sin empleo durante por lo menos dos años, difiera del porcentaje obtenido en la encuesta de Boston College, en 5% o más?

Datos 

P1= P2 
n1= 320 trabajadores 
n2= 320 trabajadores 
p1 = 0.20 
p1=-.05+(.5/320)= 0.484 

Procedimiento 

Z =(0.0484) −(320 −320)/√(.20∗.80/320)+(.20 ∗.80/320)= 1.5306 
Z=1.5306 =0.9369→ 1-.9369 = .06301 = 6.30%

Z =(−0.0484) −(320 −320)/√(.20∗.80/320)+(.20 ∗.80/320)= -1.5306 
Z=-1.5306 = 0.06301

3. Dos máquinas A y B, producen un mismo artículo. La máquina A produce como término medio una proporción de 14% de artículos defectuosos, mientras que la máquina B, produce en término medio una proporción de 20% de artículos defectuosos. Si se obtiene una muestra aleatoria de 200 unidades del artículo que provengan de la máquina A y una muestra aleatoria de 100 unidades provenientes de la máquina B, calcular la probabilidad de que B tenga una proporción de defectuosos 8% o más que A.

Datos

 
P1= 14% 
P2 =20% 
n1= 200 
n2= 100 
p1 = 0.08 - (.5/100) 

Procedimiento 

Z =(.08 −(.5/100)) −(.14 −.20)/√ (.14∗.86/200)+(.20 ∗.80/100)=2.877 
Z=2.877→0.99775-1=0.00225 
0.225%

Ejercicios

 1. Una fábrica de pasteles fabrica, en su producción habitual, un 3 % de pasteles

defectuosos. Un cliente recibe un pedido de 500 pasteles de la fábrica. Calcula la probabilidad de que encuentre más del 5 % de pasteles defectuosos.

Datos 

p =.05 
P =.03 
q = .97 
n = 500 

Procedimiento 

z = .05 − .03/√ .03∗.97 /500 = 0.196→1-0.57535=0.42465=42.46%

2. Previo a una elección la senadora X contrata los servicios de la compañía Y para fijar la contienda establecida con los electores. Ella percibe con respecto a este punto que si tiene el 45% de los votos será nominada de cuerdo con su estrategia de campaña. Suponiendo que la compañía contratada selecciona una muestra aleatoria simple de 1600 electores registrados. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra pueda producir una proporción de 45% más dado que la verdadera proporción es del 40%?

Datos 

p =.40 
P =.45 
q = .55 
n = 1600 

Procedimiento 

z = .40 − .45/√ .45∗.55 /1600 = -4.020→1-0.00003=0.99997=99.99%

3. En una gran compañía, el 28% de los trabajadores están de acuerdo con un proyecto de ley que modifica el código de seguridad e higiene Mexicano. La gerencia de la compañía desea conocer la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 220 trabajadores, el 35% o más estén de acuerdo con dicho proyecto de ley.

Datos 

p =.35 
P =.28 
q = .72 
n = 220 

Procedimiento 

z = .35 − .28/√ .28∗.72 /220 = 2.312→1-0.98956=0.01044=1.04%

4. Se sabe que la verdadera proporción de los componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de tamaño 60 tenga:

a)Menos del 3% de los componentes defectuosos.

b)Más del 1% pero menos del 5% de partes defectuosas.

A) Datos 

p =.03 

P =.04 
q = .96 
n = 60 

Procedimiento 

z = .03 − .04/√ .04∗.96 /60 =-0.395→0.34827=34082%

B) Datos 

p1 =.01 
p2 =.05 
P =.04 
q = .96 
n = 60 

Procedimiento 

Z = .01 − .04/√ .04∗.96 /60 =-1.185→0.11900 
Z = .05 − .04/√ .04∗.96 /60 =0.395→0.65173 
0.65173-0.11900=0.53273→53.27%

5.  Se ha determinado que 85.1% de los estudiantes de una universidad fuman cigarros. Se toma una muestra aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de que no más de 80% de alumnos de la muestra fume. La media o valor esperado de la proporción es de P=.851.

Datos 

p =.80 
P =.851 
q = .149 
n = 200 

Procedimiento 

Z = .80 − .851/√ .851∗.149 /200 =-2.025→0.02169→2.169%

6.  Suponer que la gente que solicite ingresar a una compañía, 40% pueden aprobar una examen de matemáticas para obtener el trabajo. Si se tomara una muestra de 20 solicitantes. ¿Cuál sería la probabilidad de que 50% o más de ellos aprobaran?

Datos 

p =.50 
P =.40 
q = .60 
n = 20 

Procedimiento 

Z = .50 − .40/√ .40∗.60 /20 =0.912→0.81859→1-0.81859=0.18141=18.14%