3.7 Intervalo de confianza para la media en una población normal con varianza conocida y desconocida
El intervalo de confianza para la media de una variable continua con el valor de la varianza de dicha variable conocida en toda la población es el intervalo menos usual.
Para estimar la media poblacional μ de una población Normal de media μ (desconocida) y de varianza σ2 (conocida), N(μ, σ2), se selecciona una muestra aleatoria X1, X2, …, Xn; de tamaño n de valores de una variable aleatoria de esta población y se calcula su media muestral, como mejor estimador puntual de μ. La construcción del intervalo de confianza se hace tomando como base este estimador. Para calcular un intervalo de confianza para μ partimos de la variable aleatoria
FORMULA:
TABLA CHI CUADRADO
P = Probabilidad de encontrar un valor mayor o igual que el chi cuadrado tabulado
ν = Grados de Libertad
1) Se sabe por experiencia que el tiempo que tarda el servicio de caja de una empresa prestadora del servicio de agua de una región para atender a los clientes que llegan a efectuar el pago mensual del servicio se distribuye normalmente. Se pide estimar el intervalo de confianza para la desviación estándar poblacional del tiempo requerido para atender los pagos que efectúan los clientes, con un nivel de confianza del 95%, si para el efecto se tomó una muestra aleatoria de 25 clientes que arrojó una desviación estándar de 1.8 minutos.
P= ((25 − 1) ∗ 1. 82/39.3641≤ σ2 ≤(25 – 1) ∗ 1. 82/12.4011)= 1 − α
P= (1.975 minutos ≤ σ² ≤ 6.2704 minutos)
Datos
n= 25 clientes (Tamaño de la muestra)
S= 1.8 minutos (Desviación estándar de la muestra)
X²= a/2= 0.05/2 = 0.025, 25-1=24 (0.25, 24)
Error máximo esperado/2, Se busca en la tabla con (n-1)
X² 1- αΤ2 = (1- 0.025) = 0.975 , 25-1=24 ( 0.975,24)
2 ) A un grupo de individuos se les sometió a una dieta especial y al final se les midió el nivel
de colesterol en el plasma los resultados son S= .3919 mmol/litro, n=12 personas,
Suponiendo que la población de colesterol tiene una distribución normal, construye un IC del
95% para desviación estándar poblacional de colesterol.
P= ((12 − 1) ∗ .39192/21.9200 ≤ σ2 ≤(12 – 1) ∗ .39192/3.8157)= 1 − α
P= (1.975 minutos ≤ σ² ≤ 6.2704 minutos)
Datos
N=12 personas
S= .3919
X²= a/2= 0.05/2 = 0.025 n= 12-1= 11 =24 (0.025, 11) =21,900
X² 1-a/2= (1-(0.05/2) = 1-0.025=0.975 (0.975, 11)
3 ) La varianza de la resistencia a la rotura de 30 cables probados fue de 32,000 lbs2. Halle
un intervalo de confianza del 90%, para la varianza de la resistencia de todos los cables de
ésta marca.
P= ((30 − 1) ∗ 178.88/42.5569 ≤ σ2 ≤(30 – 1) ∗ 178.88/17.7084)= 1 − α
P= (0.012 ≤ σ² ≤ 4.566 (Miles de pesos)
Datos
n= 15
S= Desviación estándar de la muestra. S2= 2.143
X² a/2 = 10%/2, (0.05) (0.05,29) = 42.5569
X² 1-a/2= (1-0.05) = 0.95, (0.95, 29) =17.7084
4 ) Calcule el intervalo de confianza para la varianza sobre las ventas de 15 vendedores al
90% con los siguientes datos varianza= 2.143 miles de pesos.
P= ((15 − 1) ∗ 2.143/23.6848 ≤ σ2 ≤(15 – 1) ∗2.143/6.5706)= 1 − α
1.266 ≤ σ² ≤ 4.566 (Miles de pesos)
Datos
n=15
S= Desviación estándar de la muestra. S2= 2.143
X² a/2 = .10/2, = 0.05 (0.05, 14) = 23.6848
X² 1-a/2 = (1-0.05) = 0.95, (0.95, 14) = 6.5706
5 ) El tiempo que transcurre para los obreros de una gran compañía entre el momento del ingreso a la planta y el momento en que están listos para recibir las orientaciones de su jefe inmediato, se distribuye normalmente. Una muestra de 20 obreros arroja una desviación estándar de 3.5 minutos. Se pide calcular el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del tiempo transcurrido para todos los obreros de la compañía.
P = ( ((n-1)*(S²)) / ((X²) a/2) ≤ σ² ≤ ((n-1)*(S²)) / ((X²) 1-a/2)) )= 1-a
Datos. Se sustituye las variables de la fórmula con los datos del problema
n= 20 obreros se busca ((X²) a/2) y ((X²) 1- a/2) en la tabla de distribución chi
S= 3.5. Cuadrados los dos con (n-1)
Error máximo esperado= 1-0.99= 0.01. (X²) a/2 = (0.995,19) = 38.5821
(X²) a/2= (.01/2) = 0.005. (X²) 1-a/2) = (0.995,19) = 6.8439
(X²) 1-a/2 = (1-(0.01/2) = (1-0.005) = 0.995
n-1= (20-1) = 19 P=(((19)*(3.5²)) / (38.5821) ≤ σ² ≤ ((19) * (3.5²)) / (6.8439)) )= 0.99
(X²) a/2 = (0.005, 19) P= (6.032 minutos ≤ σ² ≤ 34.008 minutos)
(X²) 1-a/2) = (0.995, 19)
6 ) Las pruebas efectuadas a una muestra aleatoria de 40 motores mostraron que
tenían una desviación estándar de la eficiencia térmica del 1.6%. Calcule el intervalo
de confianza para grandes muestras del 95% para la desviación estándar.
P= ( ((n-1)*(S²)) / ((X²) a/2) ≤ σ² ≤ ((n-1)*(S²)) / ((X²) 1-a/2)) )= 1-a
Datos. Se sustituye las variables de la fórmula con los datos del Problemas
n = 40 motores Se busca ((X²) a/2) y ((X²) 1-a/2) en la tabla de Distribución chi
S= 0.016. Cuadrado los dos con (n-1)
Error máximo esperado = 1-0.95= 0.05. (X²) a/2 = (0.025, 39) = 58.1201
(X²) a/2= (.05/2) = 0.025. (X²) 1-a/2) = (0.975, 39) = 23.6543
(X²) 1-a/2) = (1-(0.05/2) = (1-0.025) = 0.975
n-1= (40-1) = 39
P= ( ((39)*(0.016²)) / (58.1201) ≤ σ² ≤ ((39)*(0.016²)) / (23.6543)) ) = 0.95
(X²) a/2 = (0.025, 39). P= (0.0001 ≤ σ² ≤ 0.004 eficacia)
(X²) 1-a/2) = (0.975, 139)
7) Una muestra aleatoria de 8 pedidos que le hacen a una compañía, nos muestra que los mismos demoraron en ser atendidos con una desviación estándar de 1.75 días. Construir el intervalo de confianza del 99% para la desviación estándar del tiempo que tarda la compañía en atender la orden
P = ( ((n-1)*(S^2)) / ((X^2) a/2) ≤ σ^2 ≤ ((n-1)*(S^2)) / ((X^2) 1- a/2)) = 1-a
Datos. Se sustituye las variables de la fórmula con los datos del problema
n = 8 pedidos. Se busca ((X^2) a/2 y ((X^2) 1-a/2) en la tabla de distribución Chi
S= 1.75. Cuadrado los dos con (n-1)
Error máximo esperado = 1-0.99 = 0.01
(X^2) a/2= (.01/2) = 0.05
(X^2) 1- a/2) = (1-(0.01/2) = (1-0.005) = 0.995
n -1 = (8-1) = 7
P = ( ((7)*(1.75^2)) / (20.2777) ≤ σ^2 ≤ ((7)*(1.75^2)) / (0.9893)) )= 0.99
(X^2) a/2 = (0.005, 7). P = (1.0571 días ≤ σ^2 ≤ 21.6693 días)
(X^2) 1-a/2) = (0.995, 7)
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